Funktionen
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Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Man benutzt oft Funktionen um in der Wirtschaft Zusammenhänge modellhaft darzustellen.
Die Zuordnungsvorschrift schreibt man nach einem bestimmten Schema, dass in folgendem Beispiel erkenntlich wird: f(x) = x2. Die Variable x kann dabei durch jeden beliebigen Rechenausdruck ersetzt werden. Außerdem kann man eine solche Funktion in ein zweidimensionales Koordinatensystem übertragen.
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Wichtige Funktionen
Wichtige Funktionen sind:
- lineare Funktion (f(x) = mx + b)
- Polynomfunktion vom Grad n (Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichen Exponenten)
- quadratische Funktion (Beispiel für eine Polynomfuktion) (f(x) = ax2 + bx + c)
- Rationale Funktionen (f(x) = p(x)/q(x))
- Betragsfunktion (f(x) = |x|)
- Wurzelfunktion (f(x) = √(x))
- Exponentialfunktion (f(x) = exp(x) = ex)
- Logarithmusfunktion (f(x) = ln(x))
Weitere Funktionen ergeben sich durch Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verkettung bekannter Funktionen
Eigenschaften von Funktionen
Definitionsbereich
Manchmal stellt eine Funktion keine Lösung zur Verfügung. Setzt man zum Beispiel -4 für x in die Funktion f(x) = √(x) ein, so erhält man keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Meistens ist der Definitionsbereich ℝ. Abwandelungen von dieser Regel ergeben sich bei folgenden drei Fällen:
Nullstellen
Um Nullstellen zu bestimmen, muss die Funktion einfach mit 0 gleichgesetzt werden und dann so umgestellt werden, dass die unbekannte Variable ermittelt wird.
Verhalten im Unendlichen
Um das Verhalten im Unendlichen zu ermitteln, setzt man für x einfach ∞ oder -∞ ein.
Symmetrie, Monotonie und Krümmung
Eine Funktion heißt
- achsensymmetrisch, wenn f(x) = f(-x).
- punktsymmetrisch, wenn f(x) = -f(-x).
- monoton steigend, wenn x < y und f(x) < f(y).
- monoton fallend, wenn x < y und f(x) > f(y).
Extrema
Eine Funktion f(x) hat an den Stellen Extrema, an denen f'(x) = 0. Ist f(x) > 0, ist die Stelle ein Tiefpunkt. Ist f(x) < 0, so ist die Stelle ein Hochpunkt.
Wendepunkte
Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x einen Wendepunkt, wenn f(x) = 0 und f'(x) ≠ 0.
Ökonomische Funktionen
Es wird bei der Darstellung davon ausgegangen, dass die produzierte Menge auch der abgesetzten Menge entspricht.
Kostenkurve
Mithilfe der Kostenkurve lassen sich die Kosten einer Unternehmung in Abhängigkeit der abgesetzten Menge darstellen.
Die Kostenfunktion K(x) ist abhängig von x, der abgesetzten Menge. Sie ergibt sich aus der Summe der Fixkosten und den variablen Kosten. Die Fixkosten (Kf) sind die Kosten, die anfallen, wenn nichts produziert wird (z.B. für Verwaltung oder IT). Die variablen Kosten (Kv(x)) sind die Kosten, die abhängig von der produzierten Menge entstehen.
- Gesamtkostenfunktion: K(x) = Kf + Kv(x)
- Fixkosten: Kf = K(x) - Kv(x)
- Variable Kosten: Kv(x) = K(x) - Kf
- Stückkosten: k(x) = K(x) / x
- Stückfixkosten: kf(x) = Kf / x
- Variable Stückkosten: kv(x) = Kv(x) / x
Preis-Absatz-Funktion
Die verkaufte Menge eines Guts ist abhängig vom Preis des Gutes. Umgekehrt ist auch der Preis von der Nachfrage abhängig. Es ergeben sich folgende beispielhafte Funktionen:
Preis: p(x) = -0,1x + 11 Nachfrage: x(p) = (p - 11) * -10
Umsatzfunktion
Der Umsatz ist das Produkt aus Nachfrage und Preis. Es ergeben sich folgende Funktionen:
E(x) = p(x) * x = -0,1x² + 11x E(p) = x(p) * p = -10p² + 110p
Gewinn- und Deckungsbeitragsfunktion
Durch Kombination der Kostenkurve und der Umsatzfunktion ergibt sich die Gewinnfunktion.
G(x) = E(x) - K(x)
Der Deckungsbeitrag errechnet sich ähnlich wie der Gewinn, jedoch vernachlässigt er die Fixkosten:
D(x) = E(x) - Fv = G(x) + Kf
Es gilt immer D(0) = 0. Alle Stellen an denen g(x) = 0 ist, bezeichnet man Gewinnschwellen. Den Bereich an dem g(x) > 0 ist nennt man Gewinnzone. Der Stückgewinn berechnet sich als g(x) = G(x) / x. Der Stückdeckungsbeitrag ist d(x) = D(x) / x.