Logik
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Die Logik ist die Grundlage der gesamten Mathematik. Es gibt eindeutige Regeln, die besagen ob etwas logisch ist oder nicht.
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Aussagen
Grundbausteine der Logik sind Aussagen. Eine Aussage ist ein grammatikalischer Satz, von dem man sagen kann, dass er entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Der Wahrheitswert muss nicht immer unmittelbar bekannt sein, wie man in folgenden Beispielen sieht:
Beispiele:
- Singapur liegt in Asien.
- Katzen sind besser als Hunde.
- Drei ist eine Primzahl.
- Die Sonne scheint.
Ob die Sonne scheint, ist immer vom jeweiligen Wetter abhängig und daher nicht pauschal wahr oder falsch. Trotzdem lässt sich in jeder Situation eindeutig sagen, ob sie tatsächlich scheint.
Ausdrücke
Um in der Logik Sachverhalte zu untersuchen, benötigt man oft logische Variablen. Man benennt sie mit den Kleinbuchstaben p, q, usw. Sie können entweder den Wert w (wahr) oder f (falsch) annehmen. w und f sind also logische Konstanten.
Alle Aussagen, Variablen und Konstanten bezeichnet man auch als logische Ausdrücke.
Verknüpfungen
Um komplexere Situationen mithilfe der Logik analysieren zu können, verknüpft man logische Ausdrücke oft miteinander. Dies geschieht ähnlich wie beim normalen Rechnen: Man verknüpft (z.B. addiert) zwei Ausdrücke und erhält als Ergebnis einen neuen Ausdruck. In der Logik verknüpft man Ausdrücke durch die Operatoren "und" (∧), "oder" (∨) und "nicht" (¬).
Beispiele:
- Drei ist eine Primzahl und Berlin liegt in Asien. (w ∧ f = f)
- Berlin liegt nicht in Asien. (¬f = w)
- Berlin liegt nicht in Asien und drei ist eine Primzahl. (¬f ∧ w = w)
Wird eine logischer Ausdruck der "nicht"-Operator verknüpft, so wird sein Gegenteil gebildet. Aus wahr wird also falsch und aus falsch wird wahr. Zwei Ausdrücke, die durch den "und"-Operator (∧) verknüpft wurden, liefern als Ergebnis nur wahr, wenn beide Ausdrücke ebenfalls wahr sind. Beim "oder"-Operator genügt es, wenn ein Ausdruck wahr ist.
Aus folgender Wahrheitstafel lassen sich alle möglichen Kombinationen entnehmen:
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | ¬p |
|---|---|---|---|---|
| f | f | f | f | w |
| f | w | f | w | w |
| w | f | f | w | f |
| w | w | w | w | f |
Es gilt folgende Prioritätenreihenfolge: ¬, ∧, ∨.
Implikation
Eine weitere wichtige Verknüpfung ist die Implikation (⇒). Sie ist durch folgende Wahrheitstafel definiert:
| p | q | p ⇒ q |
|---|---|---|
| f | f | w |
| f | w | f |
| w | f | f |
| w | w | w |
In der Umgangssprache sagt man häufig "Aus p folgt q." oder "Wenn p, dann q.". Den ersten Operant nennt man "Voraussetzung", den zweiten "Folgerung der Implikation".
Beispiel: Wenn 4 eine Primzahl ist, dann bin ich der Kaiser von China. (f ⇒ f = w)
Äquivalenz
Zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn sie immer den gleichen Wahrheitswert haben.
| p | q | p ⇔ q |
|---|---|---|
| f | f | w |
| f | w | f |
| w | f | f |
| w | w | w |
Mit äquivalenten Ausdrücken lassen sich auch Umformungen durchführen.
