Mengenlehre

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Die Mengenlehre bildet zusammen mit der Logik die Grundlage der modernden Mathematik.

Mengen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten. Diese Objekte werden Elemente von der Menge genannt. Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ∈ M, sonst x ∉ M.

Beispiele:

1. ∅ = leere Menge
2. ℕ = {1, 2, 3, ...}
3. ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Mengenvariablen gibt man als Namen in der Regel einen Großbuchstaben (z.B. A, B, U).

Die Anzahl der Mengenelemente bezeichnet man auch als Kardinalzahl oder Mächtigkeit der Menge.

Mengengleichheit

Zwei Mengen sind gleich, wenn alle ihre Elemente gleich sind (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Teilmengen

Eine Menge ist eine Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle ihre Elemente auch in ihrer "Obermenge" enthalten sind (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Ist die Menge B eine Teilmenge von A, so schreibt man dies wie folgt: A ⊆ B.

Die Menge aller Teilmengen einer Menge nennt man die Potenzmenge von M.

Beispiel: P({1,2,3}) = {{1,2,3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1}, {2}, {3}, ∅}

Verknüpfungen

Durchschnitt

Der Durchschnitt zweier Mengen beinhaltet alle Elemente, die in beiden Mengen vorkamen. Das Symbol für den Durchschnitt ist ∩.

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Beispiel: {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 4, 6, 8} = {2, 4}

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gleiches Element haben (A ∩ B = ∅).

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen beinhaltet alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen vorkamen. Das Symbol für die Vereinigung ist ∪.

A ∩ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Beispiel: {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Differenz

Die Differenz zweier Mengen enthält alle Elemente, die der ersten Menge, aber nicht in der zweiten Menge vorhanden sind.

A∖B = {x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B}

Beispiel: {1, 2, 3, 4} ∖ {2, 4, 6, 8} = {1, 3}

kartesisches Produkt

Ein kartesisches Produkt bezeichnet die Menge der geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B. Das Ergebnis enthält also alle möglichen Werte-Kombinationen der beiden Mengen.

A × B = {(a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B}

Beispiel: ℝ × ℝ enthält alle möglichen Kombinationen aller reellen Zahlen.

Mengengesetze

Wenn A, B und C Teilmengen der Potenzmenge von G sind, gelten folgende Gesetze:

1. Kommutativität
   • A ∩ B = B ∩ A
   • A ∪ B = B ∪ A
2. Assoziativität
   • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
   • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Distributivität
   • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
   • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. Neutrale Elemente
   • A ∪ ∅ = A
   • A ∩ ∅ = ∅
   • A ∩ G = A
   • A ∪ G = G
5. Absorbtion
   • A ∪ (B ∩ A) = A
   • A ∩ (B ∪ A) = A

Zahlenbereiche

Die wichtigsten Mengenangaben in der Mathematik sind Zahlenbereiche.

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen (ℕ oder ℕ₀) enthalten alle positiven ganzen Dezimalzahlen. Die Null wird gelegentlich dazugezählt (ℕ₀).

Beispiele: 2, 94, 1, 293822

Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen (ℤ) enthalten neben den natürlichen Zahlen noch alle negativen ganzen Dezimalzahlen und in jedem Fall die Null.

Beispiele: -18, 0, 94, -2228798, 3

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen (ℚ) enthalten neben den ganzen Zahlen noch sämtliche Brüche.

Beispiele: -13.444, 1/3, 228882637, 0, -775/11

Reelle Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen (ℝ) enthält neben den rationalen Zahlen auch alle Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen.

Beispiele: √(2), -1234/2894, Pi, 0

Gesetze

1. Kommutativität
   • a + b = b + a
   • ab = ba
2. Assoziativität
   • (a + b) + c = a + (b + c)
   • (ab)c = a(bc)
3. Distributivität
   • a(b + c) = ab + ac
4. Bruchrechnung
   • a/b + c/d = (ad + bc)/bd
   • a/b * c/d = ac/bd
   • a/b / c/d = ad/bc
5. Potenzrechengesetze
   • a^maⁿ = a^m+n
   • a^m / aⁿ = a^m-n
   • a^-n = 1/aⁿ
   • a⁰ = 1
   • (aⁿ)^m = a^nm = (a^m)ⁿ
   • aⁿbⁿ = (ab)ⁿ
   • aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ